Question

【题目】已知椭圆过， 两点．

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）存在 ，或.

【解析】试题分析：（1）由椭圆过， 两点可得， ， ，从而，进而可得椭圆的方程及离心率；（2）设， ，若是平行四边形，则 ，可得． 将上式代入 ，可解得，或，从而可得出点的坐标.

试题解析：（1）由题意得， ， ， 所以椭圆的方程为．

设椭圆的半焦距为，则 ，

所以椭圆的离心率．

（2）由已知，设， ．

若是平行四边形，则 ，

所以 ，

整理得 ． 将上式代入 ，

得 ， 整理得 ，解得 ，或．

此时 ，或．经检验，符合四边形是平行四边形，

所以存在 ，或满足题意．