Question

13、（2+x）⁵（x-1）²的展开式中x²的系数为

-48

（用数字作答）．

Answer 1

分析：将多项式的一部分展开，将问题转化为二项式的展开式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出通项，进一步求出三项，求出展开式中x²的系数．

解答：解：∵（2+x）⁵（x-1）²=x²（2+x）⁵-2x（2+x）⁵+（2+x）⁵
（2+x）⁵展开式的通项为T_r+1=C₅^r2^5-rx^r
令r=0得到（2+x）⁵展开式的常数项为2⁵=32
令r=1得到（2+x）⁵展开式的含x的项为C₅¹2⁴=80
令r=2得到（2+x）⁵展开式的含x²的项为C₅²2³=80
所以（2+x）⁵（x-1）²的展开式中x²的系数为
32-160+80=-48
故答案为-48

点评：解决二项展开式的特定项问题的关键是利用二项式的通项公式求出展开式的通项．