Question

如图，四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，SA=AD=2，
（I）求证：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求证．SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）求直线BF与平面SAD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质证明EF∥CD，再证明EF∥AB，利用线面平行的判定，即可证明EF∥平面SAB；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定，先证明AB⊥平面SAD，再证明SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）先说明∠AFB是直线BF与平面SAD所成的角，再在直角三角形AFB中求直线BF与平面SAD所成角的大小．
解答：（Ⅰ）证明：∵E、F分别为SC、SD的中点，
∴EF是△SCD的边CD的中位线
∴EF∥CD
∵四边形ABCD为矩形
∴CD∥AB，∴EF∥AB
∵AB?平面SAB，EF?平面SAB
∴EF∥平面SAB
（Ⅱ）证明：∵SA=AD，F为SD的中点，
∴SD⊥AF
∵SA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥SA
∵AB⊥AD，SA，AD是平面SAD内的两条相交直线
∴AB⊥平面SAD
∵SD?平面SAD，∴SD⊥AB
∵EF∥AB
∴SD⊥EF
∵AF、EF是平面AEF内的两条相交直线
∴SD⊥平面AEF
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）AB⊥平面SAD，∴AF是BF在平面SAD上的射影
∴∠AFB是直线BF与平面SAD所成的角
在直角三角形AFB中，
∴∠AFB=60°
点评：本题考查线面平行、线面垂直的判定方法，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．