题目内容

设函数f(x)=
1
a
x，0≤x≤a		 
1
1-a
(1-x)，		a＜x≤1
常数且a∈（0，1）．
（1）当a=
1
2
时，求f（f（
1
3
））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
（3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的最大值和最小值．
（1）当a=
1
2
时，求f（
1
3
）=
2
3
，故f（f（
1
3
））=f（
2
3
）=2（1-
2
3
）=
2
3

（2）f（f（x））=
1
a2
x，0≤x≤a2
1
a(1-a)
(a-x)，a2＜x≤a
1
(1-a)2
(x-a)，a＜x≤a2-a+1
1
a(1-a)
(1-x)，a2-a+1＜x≤1

当0≤x≤a2时，由
1
a2
x=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
当a2＜x≤a时，由
1
(1-a)2
(x-a)=x，解得x=
a
-a2+a+1
∈(a2，a)
因为f（
a
-a2+a+1
）=
1
a
×
a
-a2+a+1
=
1
-a2+a+1
≠
a
-a2+a+1
，
故x=
a
-a2+a+1
是函数的二阶周期点；
当a＜x≤a2-a+1时，由
1
(1-a)2
(x-a)=x，解得x=
1
2-a
∈（a，a2-a+1），因为f（
1
2-a
）=
1
2-a
，故得x=
1
2-a
不是函数的二阶周期点；
当a2-a+1＜x≤1时，由
1
a(1-a)
(1-x)=x，解得x=
1
-a2+a+1
∈（a2-a+1，1），因为f（
1
-a2+a+1
）=
a
-a2+a+1
≠
1
-a2+a+1
，故x=
1
-a2+a+1
是函数的二阶周期点；
因此函数有两个二阶周期点，x1=
a
-a2+a+1
，x2=
1
-a2+a+1

（3）由（2）得A（
a
-a2+a+1
，
a
-a2+a+1
），B（
1
-a2+a+1
，
1
-a2+a+1
）
则s（a）=S△OCB-S△OCA=
1
2
×
a2(1-a)
-a2+a+1
，所以s′（a）=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
，
因为a∈（
1
3
，
1
2
），有a2+a＜1，所以s′（a）=
1
2
×
a(a3-2a2-2a+2)
-a2+a+1
=
a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]
(-a2+a+1)2
×
1
2
＞0（或令g（a）=a3-2a2-2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上是增函数，
故s（a）在区间[
1
3
，
1
2
]上的最小值为s（
1
3
）=
1
33
，最大值为s（
1
2
）=
1
20
练习册系列答案
相关题目
设a为实数，设函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g（a）．
（Ⅰ）设t=
1+x
+
1-x
，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）
（Ⅱ）求g（a）
（Ⅲ）试求满足g(a)=g(
1
a
)的所有实数a
设函数f(x)=
log
1-mx
x-1
a
为奇函数，g（x）=f（x）+loga（x-1）（ax+1）（ a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定义域；
（3）若g（x）在[-
5
2
，-
3
2
]上恒正，求a的取值范围．
设函数f(x)=
1
a-2
(x-2)，(x≥a)
1
a-3
(x-3)，(x＜a)
，已知存在t1，t2使得f(t1)=
1
2
，f(t2)=
5
2
，则t1-t2的取值范围是
(
3
2
，+∞)∪(-∞，-
3
2
)
(
3
2
，+∞)∪(-∞，-
3
2
)
．
设函数f(x)=
1-x
ax
+lnx在[1，+∞）上是增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：
1
a+b
＜ln
a+b
b
＜
a+b
b
．
已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
（a≠0，x≠0）．
（1）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

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