Question

（2012•三明模拟）如图1，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E是AD的中点．现截去部分几何体后得到如图2所示的四棱锥A-A₁B₁CD．
（Ⅰ）求四棱锥A-A₁B₁CD的体积；
（Ⅱ）求证：AB₁∥面A₁EC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将几何体补形成正方体，利用补形法可得结论；
（Ⅱ）连接A₁C，B₁D，交于O，则O为B₁D中点，利用三角形中位线的性质，可得AB₁∥OE，从而可得AB₁∥面A₁EC．

解答：（Ⅰ）解：如图，将几何体补形成正方体，-----------------------------------------（3分）
则VA-A1B1CD=V正方体AC1-VA1DD1-B1CC1-VB1-ABC=a3-

1

2

a3-

1

6

a3=

1

3

a3--------（7分）
（Ⅱ）证明：在正方体AC₁中，截面A₁B₁CD是矩形，
连接A₁C，B₁D，交于O，则O为B₁D中点．
又E是AD的中点，连接OE，则OE是△AB₁D的中位线，于是AB₁∥OE，
又OE?面A₁EC，A₁B?面A₁EC，于是AB₁∥面A₁EC．-------------（12分）

点评：本题考查四棱锥的体积．考查线面平行，解题的关键是补形，正确运用线面平行的判定．