题目内容

双曲线C与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦点，直线y=
3
x为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=-
8
3
时，求Q点的坐标．
（Ⅰ）设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1
由椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
求得两焦点为（-2，0），（2，0），
∴对于双曲线C：c=2，又y=
3
x为双曲线C的一条渐近线
∴
b
a
=
3
解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的方程为x2-
y2
3
=1
（Ⅱ）由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
则Q(-
4
k
，0)
∵
PQ
=λ1
QA
，
∴(-
4
k
，-4)=λ1(x1+
4
k
，y1)．
∴λ1=
-
4
k
x1+
4
k
=-
4
kx1+4

同理λ2=-
4
kx2+4
，
所以λ1+λ2=-
4
kx1+4
-
4
kx2+4
=-
8
3
．
即2k2x1x2+5k（x1+x2）+8=0．（*）
又y=kx+4以及
x2-
y2
3
=1
消去y得（3-k2）x2-8kx-19=0．
当3-k2=0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k2≠0．
由韦达定理有：
x1+x2=
8k
3-k2

x1x2=-
19
3-k2

代入（*）式得k2=4，k=±2
∴所求Q点的坐标为（±2，0）．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
已知直线l1过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y0），直线l2过B（0，-1）与x相交于Q（x0，0），x0、y0满足y0-
x0
2
=1，l1∩l2=M．
（Ⅰ）求直线l1的方程（方程中含有y0）；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时点F2到直线l的距离．
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，焦距为2c，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|+c|PF1|=8a2，则e的值为（　　）
A．
3
B．3C．
2
D．
6
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为
a
2
，证明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．
直线y=2x+1与椭圆
x2
4
+
y2
16
=1的位置关系是（　　）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
已知半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)和半圆x2+y2=b2（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2+y2=b2（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(
6
3
，-
3
3
)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE2+BF2为定值．

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