Question

已知定义在R上的函数f（x）总有导函数f′（x），定义F（x）=e^xf（x），G（x）=

f(x)

ex

x∈R，e=2.71828一是自然对数的底数．
（1）若f（x）＞0，且f（x）+f′（x）＜0，试分别判断函数F（x）和G（x）的单调性：
（2）若f（x）=x²-3x+3，x∈[-2，t]（t＞1）．
①求函数F（x）的最小值：
②比较F（t）与

3

4

et的大小．

Answer 1

分析：（1）对F（x）、G（x）分别求导，利用F′（x）、G′（x）判定F（x）、G（x）的增减性；
（2）①由f（x）得F（x）的解析式，求导函数F′（x），利用F′（x）与F（x）的变化关系求出F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值；
②先求F（x）的最小值，再用最小值与

3

4

et比较大小即可．

解答：解：（1）∵F（x）=e^xf（x），∴F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]；
又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，∴F（x）是R上的减函数；
∵G（x）=

f(x)

ex

，∴G′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

；
又∵f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，∴f′（x）＜-f（x）＜0，
∴f′（x）-f（x）＜0，∴G′（x）＜0，∴G（x）是R上的减函数；
（2）①∵f（x）=x²-3x+3，x∈R；
∴F（x）=e^xf（x）=（x²-3x+3）e^x；
∴F′（x）=e^x[（2x-3）+（x²-3x+3）]=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x，
当x∈[-2，t]（t＞1）时，随着x的变化，F′（x），F（x）的变化情况如下表：
；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是F（-2）与F（1）中的较小者；
∵

F(-2)

F(1)

=

13

e3

＜1，F（1）＞0，∴F（-2）＜F（1）；
∴F（x）在[-2，t]（t＞1）上的最小值是13e^-2；
②∵F（t）=（t²-3t+3）e^t=[(t-

3

2

)2+

3

4

]e^t≥

3

4

e^t，现在证明e^t＞et；
设g（t）=e^t-et，则g′（t）=e^t-e；
∵t＞1，∴g′（t）＞e¹-e=0；
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数；
∴当t＞1时，g（t）＞g（1）=0，∴e^t＞et；
∴F（t）≥

3

4

e^t＞

3

4

et．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及根据函数的单调性求函数的最值问题，是高考中的热点，也是易错题．