题目内容

设a∈R，f（x）=x3-x2-x+a，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，实数a的取值范围是
(-∞，-
5
27
)∪(1，+∞)
(-∞，-
5
27
)∪(1，+∞)
．
分析：要使函数f（x）=x3-x2-x+a的图象与直线x轴只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与0进行比较，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
解答：解：求一阶导数可得f'（x）=3x2-2x-1，
两个极值点分别在x=1、x=-
1
3
，
代入函数，得f（1）=a-1，f（-
1
3
）=a+
5
27
，
当a-1＞0时，f（1）＞0，得出a＞1，
当a+
5
27
＜0时，f（-
1
3
）＜0，得出a＜-
5
27
，
则曲线y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，实数a的取值范围为：(-∞，-
5
27
)∪(1，+∞)，
故答案为：(-∞，-
5
27
)∪(1，+∞)．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2(
π
2
-x)，满足f(-
π
3
)=f(0)．
（1）求f（x）的最大值及此时x取值的集合；
（2）求f（x）的增区间．
（2012•杨浦区二模）设a∈R，f（x）=
a•2x-a-2
2x+1
为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=2log2（
1+x
k
），若不等式f-1（x）≤g（x）在区间[
1
2
，
2
3
]上恒成立，求实数k的取值范围．
（2012•杨浦区二模）设a∈R，f（x）=
a•2x-a-2
2x+1
为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x-
4
2x+1
-1的零点；
（2）设g（x）=2log2（
1+x
k
），若不等式f-1（x）≤g（x）在区间[
1
2
，
2
3
]上恒成立，求实数k的取值范围．
（2012•安徽模拟）设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin2x的定义域是[
π
4
，
11
24
π]，f(
π
4
)=
3
．给出下列几个命题：
①f（x）在x=
π
4
处取得小值；
②[
5
12
π，
11
24
π]是f（x）的一个单调递减区间；
③f（x）的最大值为2；
④使得f（x）取得最大值的点仅有一个x=
π
3
．
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．（将你认为正确命题的序号都填上）
设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2（
π
2
-x）满足f(-
π
3
)=f(0)，当x∈[
π
4
，
11π
24
]时，则f（x）的值域为（　　）

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