Question

设a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2(

π

2

-x)，满足f(-

π

3

)=f(0)．
（1）求f（x）的最大值及此时x取值的集合；
（2）求f（x）的增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为

1

2

asin2x-cos2x，由f(-

π

3

)=f(0)解得a的值，即得f（x）=
2sin（2x-

π

6

），由此求得f（x）的最大值及取最大值时x的集合．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos2(

π

2

-x)=

1

2

asin2x-cos2x，且满足f(-

π

3

)=f(0)，
可得

1

2

a(-

3

2

)-（-

1

2

 ）=-1，解得a=2

3

．
从而得到 f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）．
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z 时，sin（2x-

π

6

）=1．
故f（x）=2sin（2x-

π

6

）的最大值为2，且取最大值时，x的集合为 {x|x=kπ+

π

3

，k∈z}．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的最值以及单调性，属于中档题．