Question

已知函数，f(x)=

-x3+x2(x＜1) alnx(x≥1)

（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

解答：解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		极小值		极大值

∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=

2

3

．
（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x³+x²，
由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[

2

3

，1）上单调递减，在[0，

2

3

]上单调递增．∵f(-1)=2，f(

2

3

)=

4

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，f(0)=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）_max=a．
综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．

点评：本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．