题目内容
（2012•安徽模拟）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为
，原点到该直线的距离为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若
=2
求直线MN的方程；
（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 5π |
| 6 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若
| MD |
| DN |
（3）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为
，可得
=
，利用原点到直线的距离，建立方程，即可求得椭圆的方程；
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入
+y2=1，利用韦达定理及
=2
，即可求得直线MN的方程；
（3）将y=kx+2代入
+y2=1，利用韦达定理及PQ为直径的圆过D（1，0），建立方程，即可求得结论．
| 5π |
| 6 |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入
| x2 |
| 3 |
| MD |
| DN |
（3）将y=kx+2代入
| x2 |
| 3 |
解答：解：（1）由点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为
，可得
=
，
∵
ab=
×
×
，得a=
，b=1，
∴椭圆方程是：
+y2=1 （3分）
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入
+y2=1，得（t2+3）y2+2ty-2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由
=2
，得y1=-2y2．
由y1+y2=-y2=-
，y1y2=
（6分）
得-2(
)2=
，∴t=-1，t=1（舍去）
直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0 （8分）
（3）将y=kx+2代入
+y2=1，得（3k2+1）x2+12kx+9=0（*）
记P（x3，y3），Q（x4，y4），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x3-1）（x4-1）+y3y4=0，
又y3=kx3+2，y4=kx4+2，得（k2+1）x3x4+（2k-1）（x3+x4）+5=0 ①
又x3+x4=-
，x3x4=
，代入①解得k=-
（11分）
此时（*）方程△＞0，∴存在k=-
，满足题设条件． （12分）
| 5π |
| 6 |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
∵
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| a2+b2 |
| 3 |
∴椭圆方程是：
| x2 |
| 3 |
（2）设MN：x=ty+1（t＜0）代入
| x2 |
| 3 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），由
| MD |
| DN |
由y1+y2=-y2=-
| 2t |
| t2+3 |
| -2 |
| t2+3 |
得-2(
| 2t |
| t2+3 |
| -2 |
| t2+3 |
直线MN的方程为：x=-y+1即x+y-1=0 （8分）
（3）将y=kx+2代入
| x2 |
| 3 |
记P（x3，y3），Q（x4，y4），PQ为直径的圆过D（1，0），则PD⊥QD，即（x3-1）（x4-1）+y3y4=0，
又y3=kx3+2，y4=kx4+2，得（k2+1）x3x4+（2k-1）（x3+x4）+5=0 ①
又x3+x4=-
| 12k |
| 3k2+1 |
| 9 |
| 3k2+1 |
| 7 |
| 6 |
此时（*）方程△＞0，∴存在k=-
| 7 |
| 6 |
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．
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