Question

已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)判断其单调性，并加以证明；

(3)求这个函数的值域.

Answer 1

(1), 定义域为(，)∪(，1］ (2) f(x)在(,)和(，1上都是减函数,(3) f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞

解析:

(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x²－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.

(2)设x₁＜x₂，

∴f(x₂)－f(x₁)==，

若x₁，x₂∈()，则4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0

即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，则4x₁²－3＞0.

4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.

即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.