Question

（本小题满分14分）已知数列满足，（）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足（），证明：数列是等差数列；
（Ⅲ）证明：（）.

Answer 1

（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析。

试题分析：（1）构造等比数列的思想得到数列的通项公式的求解。
（2）在第一问的基础上表述出bn的关系式，利用整体的思想得到证明。
（3）结合数列的放缩的思想，对于通项公式放缩得到求和的放缩结论。
解：（Ⅰ）因为，所以.               （2分）
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列.                 （3分）
所以，.                                    （4分）
（Ⅱ）因为，所以.   （5分）
即  ①                             （6分）
所以  ②             （7分）
②-①得：，即  ③    （8分）
所以  ④                                  （9分）
④-③得，即.                  （10分）
所以数列{b_n}是等差数列.
（Ⅲ）因为，                      （12分）
设，
则                （13分）
所以.                               （14分）
点评：解决该试题的关键是构造等比数列的思想得到数列an的通项公式，进而为求解bn得到突破口，表示出bn的值，来得到证明。