Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4， 沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，
(Ⅰ)求二面角A′-FD-C的余弦值；
(Ⅱ)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

Answer 1

解：(Ⅰ)取线段EF的中点H，连结A′H， 因为A′E=A′F及H是EF的中点， 所以A′H⊥EF， 又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF， 所以A′H⊥平面BEF， 如图建立空间直角坐标系A-xyz， 则， 故， 设n=(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量， 所以， 取，则， 又平面BEF的一个法向量m=(0，0，1)， 故， 所以二面角的余弦值为； (Ⅱ)设FM=x，则M(4+x，0，0)， 因为翻折后，C与A′重合，所以CM=A′M， 故（6-x）2+82+02=（-2-x）2 +22+（2）2，得， 经检验，此时点N在线段BC上． 所以。