Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A₁A=，M是CC₁的中点，
(1)求证：A₁B⊥AM；
(2)求二面角B-AM-C的平面角的大小．

Answer 1

解：以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系C- xyz，如图所示， 则B(1，0，0)，， 所以， (1)因为， 所以A1B⊥AM。 (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC， 又BC平面ABC，所以CC1⊥BC， 因为∠ACB=90°，即BC⊥AC， 所以BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC， 所以是平面AMC的一个法向量，， 设n=(x，y，z)是平面BAM的一个法向量， ， 由，得， 令z=2，得，所以， 因为，， 所以， 因此二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．