Question

已知f（x）=3^x且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的表达式解方程f（a+2）=18，可得3^a=2，将其代入g（x）的式子并结合幂的运算法则即可得到g（x）的解析式；
（2）设t=2^x，得t∈[1，2]，从而g（x）=t-t²，再根据F（t）=t-t²的单调性加以讨论，即可得到g（x）的最大、最小值，从而得到函数g（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，∴f（a+2）=3^a+2=18，解之得3^a=2
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，即得g（x）=2^x-4^x；
（2）令t=2^x，由题意x∈[0，1]得t∈[1，2]
∴g（x）=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

=F（t）
∵二次函数F（t）=-（t-

1

2

）²+

1

4

在[1，2]上是关于t的减函数
∴当t=1时，F（t）最大值为0；当t=2时，F（t）最小值为-2
由此可得g（x）的值域y∈[-2，0]．

点评：本题给出含有指数式的“类二次”函数，求函数的值域，着重考查了二次函数的图象与性质和函数解析式的求法等知识，属于基础题．