Question

已知关于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的两根分别为x₁、x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，可令f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合可求得1+的范围，继而可求得的取值范围．
解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂
则 即．
即其对应的平面区域如下图阴影示：
∵若a=0，由得-1＜b＜-3，这不可能，故a≠0，
∴=，
∵=，其几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率，
由得P（-2，1），
∴==-，=-2，
∴-1＜+1＜．
若-1＜+1＜0，则＜-1，
若0＜+1＜，则＞2．
∴的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合二次函数性质得到 是解答本题的关键，考查化归思想与分类讨论思想、数形结合思想的综合应用，属于难题．