题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ，且当 $数学公式$ 时，函数 $数学公式$ 取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b₁=2， $数学公式$ ，证明： $数学公式$ 是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式通项及前n项和S_n．

解：（Ⅰ）f′（x）=a_n•x-a_n+1
由题意 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴数列{a_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，∴ $\text{[math]}$
（Ⅱ）由（1）知b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹，∴b_n+1=2b_n+2ⁿ⁺¹
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是以1为首项，1位公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$ ，∴b_n=n•2ⁿ
S_n=1•2+2•2²++n•2ⁿ，2S_n=1•2²++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减得：-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
分析：（I）由当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得极值，先求出函数 $\text{[math]}$ 的导数，得
f′（x）=a_n•x-a_n+1，再由x=2时，导数为0得 $\text{[math]}$ ，进而用等比数列的通项公式去求．
（Ⅱ）可通过证明数列 $\text{[math]}$ 的后一项减前一项是同一常数，来证明明数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．再用错位相减法求和．
点评：此题主要考查了数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列和，做题时要认真审题，发现规律．