题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3的单调递减区间为
，单调递增区间为
和（1，+∞）．（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，试讨论关于x的方程f（x）=2x2+8x+t的实数根的个数．
【答案】分析：（1）由题设得f'（x）=0的根为
或x=1，由此求得a=b=-1；
（2）令g（x）=f（x）-（2x2+8x+t），利用导数求出函数g（x）的极大值与极小值，对参数t分类讨论，即可得到函数的零点个数亦即方程的根的个数．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b
由题设得f'（x）=0的根为
或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x3-x2-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t
令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3
g（x）极大值=g（-1）=8-t，g（x）极小值=g（3）=-24-t
∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；
当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；
即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；
当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；
当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．
综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；
当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；
当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．
或x=1，由此求得a=b=-1；（2）令g（x）=f（x）-（2x2+8x+t），利用导数求出函数g（x）的极大值与极小值，对参数t分类讨论，即可得到函数的零点个数亦即方程的根的个数．
解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b
由题设得f'（x）=0的根为
或x=1由此求得a=b=-1
故f（x）=x3-x2-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t
令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，3） | 3 | （3，+∞） |
| g'（x） | + | - | + | ||
| g（x） | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；
当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；
即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；
当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．
综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；
当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；
当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．
点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|