Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁．
（2）求证：MN⊥平面A₁B₁C．
（3）求三棱锥M-A₁B₁C的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BC₁，AC₁，通过M，N是AB，A₁C的中点，利用MN∥BC₁．证明MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）说明四边形BCC₁B₁是正方形，连接A₁M，CM，通过△AMA₁≌△AMC．说明MN⊥A₁C然后证明MN⊥平面A₁B₁C．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A₁B₁C的高．在直角△MNC中．求出S△A1B1C=2

2

．即可解得VM-A1B1C=

1

3

MN•S△A1B1C=

4

3

．

解答：（Ⅰ）证明：连接BC₁，AC₁，∵在△ABC₁中，M，N是AB，A₁C的中点∴MN∥BC₁．
又∵MN不属于平面BCC₁B₁，∴MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∴BC₁⊥B₁C．∴MN⊥B₁C．
连接A₁M，CM，△AMA₁≌△BMC．
∴A₁M=CM，又N是A₁C的中点，∴MN⊥A₁C．
∵B₁C与A₁C相交于点C，
∴MN⊥平面A₁B₁C．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知MN是三棱锥M-A₁B₁C的高．
在直角△MNC中，MC=

5

，A1C=2

3

，∴MN=

2

．
又S△A1B1C=2

2

．VM-A1B1C=

1

3

MN•S△A1B1C=

4

3

．

点评：本题是中档题，考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．