Question

【题目】已知点P和非零实数，若两条不同的直线 均过点P，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.

（1）已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；

（2）已知点A(0,1)、点和点C(1,0)分别是三条直线PQ,QR,RP上的点（A,B,C与P,Q,R均不重合），且直线PR,PQ是“ 共轭线对”，直线QP,QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；

（3）已知点 ，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）最小值为；（2）P(3,3)或；（3）.

【解析】

（1）设l1的斜率为k，则l2的斜率为，两直线的夹角为α，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到l1，l2的夹角的最小值；

（2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为k1，k2，k3，可得，求解可得k1，k2，k3的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标；

（3）设l1：,，其中k≠0，利用两点间的距离公式可得原点O到直线l1，l2的距离，变形后利用基本不等式求解．

（1）设的斜率为k，则的斜率为，两直线的夹角为a，

则 ，

等号成立的条件是，所以最小值为；

（2）设直线的斜率分别为，

则 得或.

当时，直线的方程为y=，直线的方程为y=，联立得，P(3,3)；

当时，，直线的方程为y=，直线的方程为y=-，联立得，；

故所求为P(3,3)或；

（3）设，，其中k，

故=

由于（等号成立的条件是），故，.