Question

如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．
（I）求证：平面AEF∥平面SBC；
（Ⅱ）求二面角S-AC-F的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．
（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．

解答：证明：（Ⅰ）∵fF别是CD的中点，
∴FC=

1

2

CD=1．
又AB=1，所以FC=AB．
∵FC∥AB，
∴四边形ABCF四边形．
∴AF∥BC
∵E是SD的中点
∴EF∥SC
又∵AF∩EF=F，BC∩SC=C
∴平面AEF∥平面SBC
解：（II）取AB的中点O，连接SO，∵SO⊥△SAB，
以O为原点，建立如图所示的空间坐标系O-xyz
则有A（0，-

1

2

，0），C（1，

1

2

，0），S（0，0，

3

2

），F（1，-

1

2

，0），

AC

=（1，1，0），

AS

=（0，

1

2

，

3

2

），（7分）
设平面SAC的法向量为

m

=（x，y，z），
由

AC • m =0 AS • m =0

，即

x+y=0 1 2 y+ 3 2 z=0

取x=1，，得

m

=（1，-1，

3

3

），（9分）
平面FAC的法向量为

n

=（0，0，1）．（10分）
∴cos＜m，n＞=

m • n

| m |•| n |

=

7

7

（11分）
而二面角二面角S-AC-F的大小为钝角，
∴二面角二面角S-AC-F的大小为π-arccos

7

7

．（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面平行的判定，（I）的关键是要找到AF∥BC，同时EF∥SC，（II）的关键是建立坐标系，求出两个平面的法向量，将二面角问题转化为向量的夹角问题．