题目内容

下列命题中，其中真命题的个数有（　　）个
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件
③若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
a
•
b
=0
④函数f(x)=
x-1
2x+1
，(-
1
2
，-
1
2
)是其对称中心
⑤命题P：?x∈R，mx2+1≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是m＞2．
分析：根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断①的真假；由三角形内角的三角函数的性质，可判断②的真假；同平面向量的性质可判断③的真假；由函数的对称性能判断④的真假；由复合命题的真假判断能得到⑤的真假．
解答：解：①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
则函数在[0，1]上为减函数，
若θ∈(
π
4
，
π
2
)，则0＜cosθ＜sinθ＜1，
则f（sinθ）＜f（cosθ），故①为假命题；
②∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角．
反之，当△ABC的内角都是锐角时，tanA+tanB+tanC＞0．
故△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件，故②是真命题；
③∵|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，∴
a
2+
a
•
b
+
b
2=
a
2-
a
•
b
+
b
2，
∴
a
•
b
=0，故③正确；
④设f（x）的对称中心是（a，b），有f（x）+f（2a-x）=2b
f（x）+f（2a-x）=
x-1
2x+1
+
2a-x-1
4a-2x+1

=（4x2-8ax+2a+2）÷（4x2-8ax-4a-1）
=2b，
∴2a+2+4a+1=0，2b=1
a=-
1
2
，b=
1
2
，
∴f（x）的对称中心是（-
1
2
，
1
2
），故④不正确；
⑤∵p∨q为假命题，∴p，q均为假命题，
即￢p：x∈R，mx2+1＞0和￢q：x∈R，x2+mx+1≤0均为真命题，
由￢p：x∈R，mx2+1＞0为真命题，得到m≥0；
由￢q：x∈R，x2+mx+1≤0为真命题，得到△=m2-4≥0，解得m≥2，或m≤-2．
综上，m≥2．故⑤正确．
故选C．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的性质、三角形内角三角函数的性质、平面向量等知识点的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题的序号有（　　）
①设A、B为两个定点，k为正常数，|PA|+|PB|=k，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④平面上到定点P及定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．
命题p:x=π是y=|sinx|的一条对称轴，q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中，其中真命题有（　　）

①p或q　②p且q　③p　④q

A.0个                 B.1个          C.2个             D.3个

下列命题中，其中真命题的个数有（　　）个
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，则f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件
③若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
a
•
b
=0
④函数f(x)=
x-1
2x+1
，(-
1
2
，-
1
2
)是其对称中心
⑤命题P：?x∈R，mx2+1≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是m＞2．
A．1B．2C．3D．4
下列命题中，其中真命题的个数有（ ）个
①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，，则f（sinθ）＞f（cosθ）
②△ABC为锐角三角形是tanA+tanB+tanC＞0的充要条件
③若||=||，
④函数是其对称中心
⑤命题P：?x∈R，mx2+1≤0，命题q：?x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是m＞2．
A．1
B．2
C．3
D．4

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