Question

【题目】已知函数f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若b＞0，试说明 ＜ln ＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= ，
由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，
∵x∈（1，+∞），∴ ，即a≥1；
（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．
∴ ＞1，又f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，
∴f（ ）＞f（1），即 ＞0．
化简得： ＜ ；
ln ＜ ＜0．
令g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），则g′（x）= ＜0．
∴函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．
∴g（ ）=ln（1+ ）=ln ﹣ ＜g（0）=0．
综上， ＜ln ＜
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax﹣1≥0，即x ，再由x的范围求得a的范围；（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得 ＞1，由f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，可得f（ ）＞f（1），化简得到 ＜ ；
由ln ＜ ＜0．构造辅助函数g（x）=ln（1+x）﹣x（x∈[0，+∞）），利用导数判断函数g（x）在[0，+∞）上为减函数．由g（ ）＜g（0）得ln ＜ ．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．