Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）用定义证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）先设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，作差时，需要把差变形为几个因式的乘积的形式，再判断每个因式的符号，最后得出结论即可．
（2）先根据x＞0时函数的解析式求出x＜0时函数的解析式，因为函数为奇函数，所以f（0）=0，因为当x的取值范围不同时，函数解析式不同，所以函数为分段函数，把每段的解析式写出，就得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：（1）设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂　
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x14x2+2x1-2x24x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+2x2 +2x1-2x2+2x1 -2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵x₁，x₂是（0，+∞）上任意两实数，且x₁＜x₂，
∴2x1+x2-1＞0，2x2-2x1＞0，4x1+1 ＞0，4x2+1 ＞0
∴

(2x1+x2 -1)(2x2  -2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（2）设x＜0，则-x＞0，
∴f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

又∵f（0）=0
∴f(x)=

2x 4x+1 (x＞0) 0(x=0) - 2x 4x+1 (x＜0)

点评：本题主要考查了定义法证明函数单调性的步骤，以及利用函数的奇偶性求函数解析式，属于函数单调性与奇偶性的综合应用．