Question

已知函数f（x）=asinx-

1

2

cos2x+a-

3

a

+

1

2

，a∈R且a≠0．对任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：利用倍角的余弦公式化正弦，配方后分类求函数的最大值，由最大值小于等于0列式求解a的范围．

解答：解：由f（x）=asinx-

1

2

cos2x+a-

3

a

+

1

2

=asinx-

1

2

(1-2sin2x)+a-

3

a

+

1

2

=sin2x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

．
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴当-

a

2

≤0时，f(x)max=(1+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

=1+2a-

3

a

．
由

- a 2 ≤0 1+2a- 3 a ≤0

，解得0≤a≤1；
当-

a

2

＞0时，f(x)max=(

a

2

-1)2-

a2

4

+a-

3

a

=1-

3

a

．
由

- a 2 ＞0 1- 3 a ≤0

，解得a∈∅．
综上，对任意x∈R，都有f（x）≤0的a的取值范围是[0，1]．

点评：本题考查了正弦函数的定义域和值域，考查了函数的最值得球阀，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．