Question

设向量

a

=（t+2，t²-cos²α），

b

=(λ，

λ

2

+sinα)，其中t，λ，α为实数，若

a

=2

b

，
（1）求λ的取值范围；
（2）求实数

t

λ

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用

a

=2

b

，得到λ，t的关系，然后利用三角函数的有界性即可得到λ的范围；
（2）由t+2=2λ，得

t

λ

=2-

2

λ

，利用函数的单调性即可求解

t

λ

的比值的取值范围．

解答：解：由于向量

a

=（t+2，t²-cos²α），

b

=(λ，

λ

2

+sinα)，其中t，λ，α为实数，且

a

=2

b

，
可得

t+2=2λ                            ① t2-cos2α=λ+2sinα       ②

，
由②得到λ-t²=-cos²α-2sinα=sin²α-2sinα-1
化简得λ-t²+2=（sinα-1）²
又由sinα∈[-1，1]，所以0≤λ-t²+2≤4  ③
再由①代入③得-4≤4λ²-9λ+2≤0，
解此不等式得：

1

4

≤λ≤2；
（2）由t+2=2λ，得

t

λ

=2-

2

λ

，
又f(λ)=2-

2

λ

在[

1

4

，2]单调递增，
∴f(

1

4

)≤

t

λ

≤f(2)，即

t

λ

∈[-6，1]

点评：本小题主要考查向量、三角函数的有界性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．本题难度较大．