Question

 [番茄花园1] 已知函数（a-b）<b)。

（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。

（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，

 

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 [番茄花园1]1.

Answer 1

【答案】

 [番茄花园1] .解析：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。

(Ⅰ)解：当a=1,b=2时，

因为f’(x)=(x-1)(3x-5)

故f’(2)=1

f(2)=0,

所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2

（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），

    由于a<b.

    故a<.

    所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝.

    不妨设x₁＝a，x₂＝，

    因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f（x）的零点，

    故x₃＝b.

    又因为－a＝2（b－），

    x₄＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x₄满足题意，且x₄＝.

 

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 [番茄花园1]21.