Question

（2011•上海模拟）已知函数f（x）=2^x+arctanx，数列{a_n}满足a1=

1

4023

，f(an+1)=f(

an

1-2an

)(n∈N*)，则f（a₂₀₁₂）=

2+

π

4

．

Answer 1

分析：由f（x）=2^x+arctanx，知f'（x）=2^x•ln2+

1

1+x2

，由f（x）严格单调递增，得a_n+1=

an

1-2an

，所以

1

an

=

1

a1

-2(n-1)，由此能够求出f（a₂₀₁₂）．

解答：解：∵f（x）=2^x+arctanx，
∴f'（x）=2^x•ln2+

1

1+x2

，
显然对于任意x∈R它都是严格大于0的，
所以f（x）严格单调递增，
∵a1=

1

4023

，f(an+1)=f(

an

1-2an

)(n∈N*)，
∴a_n+1=

an

1-2an

，
对任意n∈N^*，变形得a_n+1-2a_n•a_n+1-a_n=0，

1

an

-

1

an+1

-2=0，
∴

1

an+1

=

1

an

-2，
所以

1

an

=

1

a1

-2(n-1)，
将a₁=

1

4023

和n=2012代入得a₂₀₁₂=1，
所以f（a₂₀₁₂）=f（1）=2+

π

4

．
故答案为：2+

π

4

．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．