Question

定义f（M）=（m，n，p），其中M是△ABC内一点，m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，已知在△ABC中，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，f(M)=(

1

2

，x，y)，则

1

x

+

4

y

的最小值是

18

．

Answer 1

分析：先利用条件确定x，y的关系式为2x+2y=1，然后利用基本不等式求最小值．注意1的等价代换．

解答：解：因为在△ABC中，

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，所以|

AC

|?|

AB

|cos?30?=2

3

，即|

AC

|?|

AB

|=4．
所以S△ABC=

1

2

|

AC

|?|

AB

|sin30?=

1

2

×4×

1

2

=1，由
f(M)=(

1

2

，x，y)，得x+y=

1

2

．即2x+2y=1．
所以

1

x

+

4

y

=(

1

x

+

4

y

)(2x+2y)=10+

2y

x

+

8x

y

≥10+2

2y x ? 8x y

=10+8=18，
当且仅当

2y

x

=

8x

y

，即y²=4x²时取等号，
所以

1

x

+

4

y

的最小值是18．
故答案为：18．

点评：本题考查了基本不等式的应用，先通过新定义建立x，y的关系式是解决本题的关键，在解题过程中，要注意“1”的代换．