Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-

5

7

，设

AA1

BC

=λ，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）取BC中点M，连接B₁M，则B₁M⊥面ABC，故面BB₁C₁C⊥面ABC，由BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，知AC⊥面BB₁C₁C，由此能够证明面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，则

AB1

=(-2，1，t)，

AB

=(-2，2，0)，

AC1

=(-2，-1，t)，面AB₁B法向量

n1

=(1，1，

1

t

)，面AB₁C₁法向量

n2

=(

t

2

，0，1)，由此能求出λ的值．

解答：解：（1）取BC中点M，连接B₁M，
则B₁M⊥面ABC，
∴面BB₁C₁C⊥面ABC，
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
∵AC?面ACC₁A₁，
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，
过点C与面ABC垂直方向为oz轴，
建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，
∵B₁M⊥面ABC，M是BC中点，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，1，t），C₁（0，-1，t），
即

AB1

=(-2，1，t)，

AB

=(-2，2，0)，

AC1

=(-2，-1，t)，
设面AB₁B法向量

n1

=(x，y，z)
∵

n1

•

AB1

=0，

n1

•

AB

=0，
∴

-2x+y+tz=0 -2x+2y=0

，
∴

n1

=(1，1，

1

t

)；
设面AB₁C₁法向量

n2

=(x，y，z)，
∵

n2

•

AB1

=0，

n2

•

AC1

=0，
∴

-2x+y+tz=0 -2x-y+tz=0

，
∴

n2

=(

t

2

，0，1)，
∵二面角B-AB₁-C₁的余弦值为-

5

7

，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

t 2 +0+ 1 t

2+ 1 t2 • 1+ t2 4

=

5

7

，
∴解得t=

3

，
∴BB₁=

( 3 )2 +12

=2，
∴AA₁=BB₁=2，
∴λ=

AA1

BC

=

2

2

=1．

点评：本题考查平面与平面的垂直的证明，求λ的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．