Question

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．

Answer 1

3
分析：根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得 MC，求得PC=MP-MC的值，据PQ•PB=PC² 求出结果．
解答：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．
TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．
由切割线定理可得 MC²=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．
∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP-MC=3-2=，
由切割线定理可得 PQ•PB=PC²=3，故答案为 3．
点评：本题考查切割线定理，直角三角形中的边角关系，圆的切线性质，求出切线长PC 是解题的难点和关键．