Question

已知全集U=R，非空集合A={x|

x-2

x-3

＜0}，B={x|

x-(a2+2)

x-a

＜0}．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求（C_uB）∩A；
（Ⅱ）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过a=

1

2

，求出集合B，求出集合A，然后求出集合B的补集，即可求（C_uB）∩A；
（Ⅱ）利用q是p的必要条件，说明A⊆B，列出a的关系式，然后求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）A={x|2＜x＜3}，
当a=

1

2

时，，B={x|

1

2

＜x＜

9

4

}，（2分）
?_UB={x|x≤

1

2

或x≥

9

4

 }，
∴（?_UB）∩A={x|

9

4

≤x＜3}．（4分）
（Ⅱ）由若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）
由a²+2＞a，B={x|a＜x＜a²+2}             （8分）
∴

a≤2 a2+2≥3

，解得a≤-1或1≤a≤2．（12分）

点评：本题考查集合的基本运算，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．