Question

（2009•重庆模拟）设函数f（x）=

2

cosx(sinx+cosx)- 1 2

．
（I）求函数y=f（x）的周期；
（II）设函数y=f（x）的定义域为A，若x∈[0，

π

2

]∩A，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式与辅助角公式可将f（x）化为f（x）=

2

sin(2x+ π 4 )

，从而可求其周期；
（Ⅱ）由sin（2x+

π

4

）≠0，可求得x≠

kπ

2

-

π

8

，即A={x|x≠

kπ

2

-

π

8

}，[0，

π

2

]∩A=[0，

3π

8

）∪（

3π

8

，

π

2

]，利用正弦函数的单调性即可求得y=f（x）的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=

2

cosx(sinx+cosx)- 1 2

=

2

1 2 sin2x+ 1 2 cos2x

=

2

2 2 sin(2x+ π 4 )

．
=

2

sin(2x+ π 4 )

，
故函数f（x）的周期为：T=π．
（II）∵2x+

π

4

≠kπ⇒x≠

kπ

2

-

π

8

，
∴A={x|x≠

kπ

2

-

π

8

}，
又[0，

π

2

]∩A=[0，

3π

8

）∪（

3π

8

，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，π）∪（π，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，0）∪（0，1]，
∴函数y=f（x）的值域为（-∞，-2

2

]∪[2，+∞）．

点评：本题考查三角函数的求值，着重考查三角函数中的恒等变换应用及正弦函数的性质与应用，属于中档题．