Question

下列命题中，真命题的个数为（　　）
①直线的斜率随倾斜角的增大而增大；
②若直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；
③“两直线斜率相等”是“两直线平行”的必要不充分条件；
④过一点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线一定有3条；
⑤双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2a．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：根据正切函数在（0°，180°）上不是单调函数，可得α∈（0°，180°）时，α越大k越大是不正确的；
因为斜率为tanα的角由无数个，而直线的倾斜角仅有一个，故②不正确；
“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；
过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，故④不正确；
双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2b，故⑤不正确；

解答：解：正切函数在（0°，90°）和（90°，180°）上均为增函数，但在（0°，180°）上不是单调函数，故①直线的斜率随倾斜角的增大而增大不正确；
若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为 β=α+k×180°，k∈z，且 0°≤β＜180°，故②不正确．
“两直线斜率相等”时，两直线可能重合，“两直线平行”时两直线斜率可能同时不存在，故“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；
过过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，过原点在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有无数条，过象限内一点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条，故④不正确；
双曲线

x2

b2

-

y2

a2

=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2b，故⑤不正确
故选A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，直线平行的充要条件，直线的截距，双曲线的简单性质等知识点，难度中档．