题目内容

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanC= $数学公式$
（I ）求角C大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

解：（I ）由已知及余弦定理，得tanC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinC= $\text{[math]}$ ，故锐角C= $\text{[math]}$ ．
（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°-A．由题意得 $\text{[math]}$ ，
∴60°＜A＜90°．由 $\text{[math]}$ =2，得 a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），
∴a²+b²=4[sin²A+sin²（A+30°）]=4[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ]=4[1- $\text{[math]}$ cos2A- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cosA- $\text{[math]}$ sin2A）]=4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°）．
∵60°＜A＜90°，∴（2A-60°）．
∴7＜a²+b²≤4+2 $\text{[math]}$ ．
分析：（I ）利用锐角△ABC中，sinC= $\text{[math]}$ ，求出角C的大小．
（II）先求得 B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据 a²+b²=4+2 $\text{[math]}$ sin（2A-60°）及A的范围，得（2A-60°），从而得到a²+b²的范围．
点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，其中判断sin（2A-60°）的取值范围是本题的难点．