Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤

π

2

)．
（1）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|(O为坐标原点），求向量

OB

；
（2）若向量

AC

与向量

a

共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求

OA

•

OC

．

Answer 1

（1）∵点A（8，0），B（n，t），
∴

AB

=(n-8，t)，
∵

AB

⊥

a

，
∴

AB

•a=(n-8，t)•(-1，2)=0，
得n=2t+8．
则

AB

=(2t，t)，又|

AB

|=

5

|

OA

|，|

OA

|=8．
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
当t=8时，n=24；当t=-8时，n=-8．
∴

OB

=(24，8)或

OB

=(-8，-8)．
（2）∵向量

AC

与向量

a

共线，
∴t=-2ksinθ+16，tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

．
∵k＞4，
∴0＜

4

k

＜1，
故当sinθ=

4

k

时，tsinθ取最大值

32

k

，有

32

k

=4，得k=8．
这时，sinθ=

1

2

，k=8，tsinθ=4，得t=8，则

OC

=(4，8)．
∴

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32．