Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）当时，试判断函数的零点个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2) 只有一个零点

【解析】

（1）求导，对a分类比较与3的大小，求得及的解集，即可求得g（x）的单调区间；

（2）由（1）可知，的单增区间为和，单减区间为

得到f(x)的极大值为f(1) <0,，极小值为f(3)<0，又, 得到在上只有一个零点.从而得到函数f（x）只有一个零点．

（1）

当 即，，

所以的单增区间为和，单减区间为，

当 即 ，或，

所以的单增区间为和，单减区间为，

当 ，，所以的单增区间为（0，）.

综上所述：当0<a<时，所以的单增区间为和，单减区间为，

当 ，的单增区间为，

当时，所以的单增区间为和，单减区间为

（2）当时，，，所以由（1）可知，的单增区间为和，单减区间为

所以f(x)的极大值为f(1)=-1<0,，极小值为f(3)<0，

当时, 所以在上只有一个零点.

综上，只有一个零点.