题目内容

双曲线x²-y²=2的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）在其右支上，且满足| $数学公式$ |=| $数学公式$ |， $数学公式$ • $数学公式$ =0，则x₂₀₁₀=________．

4020
分析：由题意，知e= $\text{[math]}$ ，|P_nF₁|=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，|P_n+1F₂|=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，求出x₁，由此根据等差数列的通项公式能求出x₂₀₁₀．
解答：依题意，双曲线x²-y²=2，
∴a=b= $\text{[math]}$ ，c=2，
它的离心率：e= $\text{[math]}$ ，准线方程为：x=±1．焦点坐标（±2，0）．
设点P_n到左准线的距离为d，
根据双曲线的第二定义得：
| $\text{[math]}$ |=d×e，
∴| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
同理：| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
因为| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，
所以x_n+1=x_n+2，数列{x_n}构成一个等差数列，
又 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴P₁F₂⊥F₁F₂，
∴x₁=c=2，
∴x_n=2n，
∴x₂₀₁₀=4020．
故答案为4020．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题．