Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|2a＜x＜a²+1}．
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）当a＞

1

3

时，若元素x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=2时，集合A、B为两确定的集合，利用集合运算求解；
（2）a＞

1

3

时，根据元素x∈A是x∈B的必要条件，说明B⊆A，确定端点的大小，
结合数轴分析条件求解即可．

解答：解：（1）当a=2时，A=（2，7），B=（4，5），∴A∩B={a|4＜a＜5}
（2）当a＞

1

3

时，3a+1＞2，∴A=（2，3a+1）
∵若元素x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，
⇒

2a≥2 a2+1≤3a+1

⇒1≤a≤3

点评：本题借助充要条件等知识点考查集合运算，含有参数的数集进行交、并、补运算，要比较端点的大小．