Question

已知数列{a_n}中，a₃=a(a＞2),对一切n∈N^*,a_n＞0,a_n+1=.

(1)求证：a_n＞2且a_n+1＜a_n;

(2)证明a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).

Answer 1

证明：

(1)a_n+1=＞0,∴a_n＞1.

∴a_n-2=≥0.

∴a_n≥2.若存在a_k=2,则a_k-1=2,由此可推出a_k-2=2,…,a₁=2,此与a₁=a＞2矛盾，故a_n＞2.

∵a_n+1-a_n=＜0,∴a_n+1＜a_n.

(2)由题（1）得a_n-2=,

∴a_n-2＜(n≥2).

∴(a₁-2)+(a₂-2)+…+(a_n-2)≤(a-2)(1++…+)

=(a-2)=2(a-2)(1-)＜2(a-2).

∴a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).