Question

下面有四个命题：
①“直线a，b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a，b不相交”；
②“直线l⊥面α内所有直线”的充要条件是“l⊥α”；
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a⊥b在α内的射影”；
④“直线a∥面β”的必要非充分条件是“直线a平行于平面β内的一条直线”；
其中正确命题的序号是（　　）

A．①③

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：根据空间中平点、线、面之间的位置关系，以及结合有关的判定定理与性质定理对四个命题逐一进行判断，进而结合必要条件、充分条件与充要条件的定义得到结论．

解答：解：①由题意可得：“直线a、b为异面直线”⇒“直线a、b不相交”为真命题，但是“直线a、b不相交”⇒“直线a、b为异面直线”为假命题，
所以“直线a、b不相交”是“直线a，b为异面直线”必要不充分条件，即“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是：“直线a、b不相交”，所以①错误；
②由线面垂直的定义可得②正确，所以②正确；
③由空间中的直线与直线之间的位置关系可得：“直线a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α内的射影”为假命题，并且“a垂直于b在平面α内的射影”⇒“直线a⊥b”也为假命题，
所以“直线a⊥b”的不充分也不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”，所以③错误；
④由空间中线面偶像的定义可得：“直线α∥平面β”⇒“直线a平行于平面β内的一条直线”为真命题，但是“直线a平行于平面β内的一条直线”⇒“直线α∥平面β”为假命题，
所以“直线α∥平面β”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面β内的一条直线”，所以④正确．
故选C．

点评：本题主要考查空间中点线面得位置关系与有关的判定定理与性质定理，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断方法：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．