题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形
的顶点在椭圆上，且对角线
、
过原点
，若
，求证；四边形的面积为定值.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）通过离心率，可得
与
的关系；再利用点
，得到与
的关系；通过方程组求得椭圆方程；（2）假设直线
方程，与椭圆方程联立，通过根与系数关系可得
和
的关系；再结合椭圆的对称性，将四边形
面积转化为求解
的面积。利用弦长公式和点到直线距离公式，将
表示出来，整理为定值，从而可证得四边形面积为定值。
由题意
，
，又
解得：
，
椭圆的标准方程为
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为
设
，
又
②当直线斜率存在时，设直线的方程为
设
，
联立
，得
……①
，
，即
，
又
整理可得：
设原点到直线的距离为
，则
综上所述，四边形面积为定值
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