Question

已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=，E为线段PD上一点，G为线段PC的中点．
（1）当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
（2）当时，求证：BG平面AEC。

Answer 1

证明：（1）过E作EH⊥AD，垂足为H，连接CH．
，，
∴∠1=∠2
又∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴BD⊥CH，
∵PA⊥矩形ABCD所在平面，∴平面PAD⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥AD，平面PAD∩矩形ABCD=AD
∴EH⊥矩形ABCD所在平面
∴EH⊥BD
∵EH∩CH=H
∴BD⊥平面CEH
∴CE⊥平面CEH
∴BD⊥CE．    
（2）取PE的中点F，连接GF，BF．
∵G为PC的中点，
∴GFCE
∴GF平面ACE，CE平面ACE
∴GF平面ACE．
连接BD交AC与点O，连接OE．
∵E为DF的中点，
∴BFOE
∴BF平面ACE．
∵BF∩GF=F，
∴平面BGF平面AEC．
又BG平面BGF
∴BG平面AEC．