题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D、E分别为AB、CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A－CD－B，连接AF．

(Ⅰ)求证：平面AEF⊥平面CBD；

(Ⅱ)当AC⊥BD时，求二面角A－CD－B大小的余弦值．

答案：二面角
解析：

　　证明：(Ⅰ)在，

　　又E是CD的中点，得AF⊥CD．3分

　　折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，又AE∩EF＝E，AE平面AED，EF平面AEF，故CD⊥平面AEF，又CD平面CDB，故平面AEF⊥平面CBD．5分

　　(Ⅱ)过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上．

　　因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，所以AH⊥平面CBD．6分

　　以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系．7分

　　由(Ⅰ)可知∠AEF即为所求二面角的平面角，设为，并设AC＝，可得

　　8分

　　

　　得；11分

　　故二面角A－CD－B大小的余弦值为(12分)


练习册系列答案
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精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，则AC的长为（　　）
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3
精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直径AC的长度．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于点P．
（1）若AE=CD，点M为BC的中点，求证：直线MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求锐二面角E-BC-A的平面角的余弦值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
DM
DN
=λ，试确定实数λ的取值范围．
精英家教网如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）
A、（0，
3
]
B、（
2
2
，2]
C、（
3
，2
3
]
D、（2，4]

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