Question

已知数列a_n是等比数列，b_n是等差数列，且b₁=0，数列c_n满足c_n=a_n+b_n，其前四项依次为1，a，2a，2，求数列c_n的前n项和S_n．

Answer 1

分析：利用C₁=a₁+b₁=1求出a₁，设出公差及公比，据{c_n}的前四项列出方程求出公差、公比；当一个数列是一个等比数列及等差数列的和或差构成时，求其和时用分组法．

解答：解：①由c_n=a_n+b_n知c₁=a₁+b₁而c₁=1，b₁=0∴a₁=1
设a_n的公比为q，b_n的公差为d
则a_n=a₁q^n-1=q^n-1b_n=b₁+（n-1）d=（n-1）d
∴c_n=q^n-1+（n-1）d
令

n=2，c2=q+d=a n=3，c3=q2+2d=2a n=4，c4=q3+3d=2

解得q=2，d=-2∴a_n=2^n-1，b_n=2-2n（8分）
②S_n=c₁+c₂++c_n=（a₁+a₂++a_n）+（b₁+b₂++b_n）=

1-2n

1-2

+

n(2-2n)

2

=2n-n2+n-1（12分）

点评：求数列的和时，先判断数列的通项的特点，然后选择合适的求和方法．