Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，AB=2，D是A₁B₁的中点，E在线段CC₁上且C₁E=2，
（Ⅰ）证明：DC⊥面ABE；
（Ⅱ）求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F， 连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直， 以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∵AB=2，AA1=3，C1E=2， ∴，， ∴， ∴， 于是，有DC⊥AB、DC⊥AE， 又因AB与AE相交，故DC⊥面ABE． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是面ABE的一个法向量，， 设是面ADE的一个法向量， 则，① ，② 取z=2，联立①、②解得，则， 因为二面角D-AE-B是锐二面角，记其大小为θ， 则， 所以，二面角D-AE-B的大小。