Question

已知P、A、B三点共线，且

OP

=m

OA

+n

OB

（m、n∈R且mn＞0），则

1

m

+

4

n

的最小值为

9

．

Answer 1

分析：利用三点共线，可得m+n=1，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论．

解答：解：∵P、A、B三点共线，且

OP

=m

OA

+n

OB

，
∴m+n=1，
∵mn＞0，
∴

1

m

+

4

n

=（

1

m

+

4

n

）（m+n）=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9，
当且仅当

n

m

=

4m

n

，即n=2m时，取等号，
∴

1

m

+

4

n

的最小值为9．
故答案为：9．

点评：本题考查三点共线，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，确定m+n=1是关键．