Question

已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）当时，取得最小值.（Ⅱ）的取值范围是

解析:

的定义域为，  ….. 1分       

  的导数.       ………….. 3分

令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递.             ………….. 5分

所以，当时，取得最小值.                            ………….. 6分

（Ⅱ）解：

解法一：令，则，    …….. 8分

① 若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即.           ……….. 10分

② 若，方程的根为 ，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以，时，，即，与题设相矛盾.

                                                

综上，满足条件的的取值范围是.                                      ………….. 13分

解法二：依题意，得在上恒成立，

即不等式对于恒成立                       ………….. 8分

令，   则.       ………….. 10分

当时，因为，  

故是上的增函数，   所以 的最小值是， …….. 12分

从而的取值范围是.