Question

在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，

（1）设对角线D₁B与自D₁出发的三条棱分别成α、β、γ角，求证：cos²α+cos²β+cos²γ=1；

（2）设D₁B与经过D₁的三个表面成α、β、γ角，求证：cos²α+cos²β+cos²γ=2.

Answer 1

证明:（1）如图，连结BC₁，不妨设∠BD₁C₁=α，长方体的三条棱长分别为a、b、c，设D₁B=l，则cos²α=.

同理,cos²β=，cos²γ=.

∴cos²α+cos²β+cos²γ==1.

（2）连结D₁C，∵BC⊥平面DCC₁D₁，

∴∠BD₁C就是D₁B与平面DCC₁D₁所成的角.不妨设∠BD₁C=α，则cos²α=.同理,cos²β=，cos²γ=.

∴cos²α+cos²β+cos²γ==2.